Matemática Superior

Entendendo o que é uma transformação linear

Transformação linear

Você já ouviu falar em Transformação Linear? Mapa Linear? Aplicação Linear? Esses termos são familiares ou são estranhos aos seus ouvidos?

No meu tempo de graduação, tive muita dificuldade para entender esse tema. Após ler alguns livros, artigos, apostilas que abordavam esse conceito, encontrei através de exemplos de situações do dia dia uma maneira bem mais prática e interessante de entender esse conceito.

Então, se sua resposta foi sim para a pergunta acima, te convido a ler nosso artigo e aprimorar mais ainda seus conhecimentos a respeito da definição de Transformação Linear.

Se não, creio que é de fundamental importância você ler esse artigo, pois o mesmo lhe trará uma boa fundamentação sobre o conceito de Transformação Linear, e o melhor, adquirir esse conhecimento através de situações do dia dia, que sem dúvida, é uma forma bem atraente e legal de se aprender.

Assim como foi difícil para mim, pode ser que você também tenha essa dificuldade. E foi pensando nisso que escrevi esse artigo, onde vou mostrar algumas situações, e através dessas situações abordar o conceito de transformação linear.

Então continue lendo para entender essa importante definição do conteúdo de Álgebra Linear, que servirá de base para muitos outros conteúdos dessa disciplina. Venha conosco e embarque nessa viagem sensacional no mundo da Álgebra Linear.

Conteúdo


 

Exemplos de situações com transformação linear.

Funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis. Muitos exemplos podem ser representados por tais funções.

Exemplo 01: Se 1l de gasolina custa R\$3,00, se uma pessoa abastecer xl de gasolina, pagaria R\$ 3\cdot x  de combustível. Escrevendo na forma de função, teremos:

  V(x) = 3\cdot x, onde  V(x) é o valor a ser pago por x litros de gasolina. Graficamente temos a seguinte situação:

Gráfico função Linear

Como dito acima que esse tipo de função descreve várias situações do dia dia, vamos analisar nessa situação duas características simples, porém muito interessantes.

  • Para calcular o valor a ser pago por (x_{1} + x_{2})l de combustível.

     1ª Forma:  Multiplicar (x_{1} + x_{2}) por 3 assim:  3\cdot (x_{1} + x_{2}).

     2ª Forma: Calcular V(x_{1}), V(x_{2}) e somá-los em seguida assim:

                            V(x_{1}+ x_{2})= 3\cdot (x_{1} +x_{2})= 3\cdot x_{1}+ 3\cdot x_{2}= V(x_{1}) + V(x_{2}).

  • Se a quantidade de litros de gasolina for multiplicada por um fator k o valor a ser pago será multiplicado por este mesmo fator k assim:

                          V(k\cdot x) = 3\cdot (k\cdot x) = k\cdot (3\cdot x) = k\cdot V(x).

Veja nessa situação, que para calcular o valor a ser pago por (x_{1} + x_{2})l de combustível, podemos somar x_{1} com x_{2} e multiplicar por 3, ou então calcular V(x_{1}), V(x_{2}) e no final somar os dois, veremos então que os resultados são iguais.

Essas duas propriedades óbvias, servirão para caracterizar o que mais tarde definiremos como “transformação linear“. Vejamos outro exemplo onde podemos observar, de forma clara, essas mesmas propriedades.

Exemplo 02: Outra situação interessante que podemos observar, é um tipo de transformação no plano cartesiano. Vejamos agora detalhadamente uma das várias existentes.

Reflexão em torno do eixo x.

A reflexão em torno do eixo de x, leva cada ponto (x,y) para sua imagem (x,-y), simétrica em relação ao eixo dos x.   

Seja T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, que toma um (x,y)\rightarrow (x,-y), ou em outras palavras podemos ter T(x,y) = (x,-y)

Se tomarmos como exemplo o ponto A(3,2) e aplicarmos na relação T(x,y) = (x,-y) teremos:

T(x,y)= T(3,2) = (3,-2)

Ponto marcado no primeiro quadrante
Ponto marcado no quarto quadrante

Vamos analisar agora o exemplo acima T(x,y) = (x,-y) :                                                    

Sejam dois pontos do \mathbb{R}^{2}, u=(x_{1}, y_{1}) \ e \ v=(x_{2}, y_{2}), com \ x_{i},y_{i}\in \mathbb{R}.\ Temos:\\ 

T(u) = (x_{1},-y_{1})

T(v) = (x_{2},-y_{2})

(u+v)=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})

\\ T(u+v)= (x_{1}+x_{2},-(y_{1}+y_{2})) \\ T(u+v)=(x_{1}+x_{2},-y_{1}-y_{2}) \\ T(u+v)= (x_{1}+x_{2},-y_{1}-y_{2}) \\ T(u+v)=(x_{1},-y_{1})+(x_{2},-y_{2}) \\ T(u+v)= T(x_{1},y_{1})+T(x_{2},y_{2}) \\ T(u+v)= T(u)+T(v).

\large \\ Seja \ k\in \mathbb{R} \ e \ (x,y)\in \mathbb{R}^2, \ temos:\\ k\cdot(x,y)=(kx,ky). \\ T(kx,ky)= (kx,-ky)=k\cdot(x,-y)= k\cdot T(x,y).

Veja que a função do exemplo acima também possui as mesmas caracteríticas do exemplo1.

Em fim, pensaremos agora em termos de espaços vetoriais, e funções entre esses espaços vetoriais, que respeitam toda a estrutura de espaço vetorial.

Definição: Sejam \large V e \large W espaços vetoriais, Uma transformação Linear de \large V em \large W é uma função \large T: V\rightarrow W que possui as seguintes propriedades:

(i) \large T (v_{1} + v_{2} ) = T (v_{1}) + T (v_{2}) para quaisquer \large v_{1} e \large v_{2}  em \large V;

(ii) \large T (\alpha \cdot v) = \alpha \cdot T(v), para quaisquer \large v em \large V e \large \alpha \in \mathbb{R}.

Deixaremos um desafio!!!!

Mostre por indução que a função \large T: V\rightarrow W é uma transformação linear  se, e somente se, para todos \large v_{1}, \cdot \cdot \cdot ,v_{r}\in V e todos \large \alpha_1,\alpha_2, \cdot \cdot \cdot \in \mathbb{R}, tem-se que 

\large T (\alpha_1{}v_{1} + \cdot \cdot \cdot + \alpha_r{}v_{r} ) = \alpha_{1} T (v_{1}) + \cdot \cdot \cdot\alpha_{r} T (v_{r}).

 

 

Observação 01: Note que \large T:U\rightarrow W  é uma transformação linear se e somente se \large T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v), para todo \large u ,v \in U, \lambda,\mu \in\mathbb{R}.

Observação 02: Note que pela propriedade (ii) acima temos \large T (0)=T(0\cdot0)= 0\cdot T(0)= 0. Ou seja, toda transformação linear de U em W leva o elemento neutro de U no elemento neutro de W.

Exemplos de transformação linear.

Vejamos agora alguns exemplos de transformações lineares, e ficará como exercício, você verificar cada item.

(i): \large T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2 , definida por \large T(x,y,z)= (z,x+y).

(ii) \large T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, definida por \large T(x,y)=(x+y,2y-5x).

(iii) \large T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, definida por \large T(x,y,z)= (x,y,-z).

Lista de exercício

Segue abaixo, a lista de exercício proposta para você exercitar e fixar mais ainda o conteúdo apresentado. Bons estudos!

Deixe uma resposta